A Knot-theoretical study of molecular chirality

Abstract

Knots, links and braids have been known and used since ancient times. As mathematical objects, however, they are rather difficult to deal with. Their definitions involve some subtle problems of placement and embedding of manifolds in abstract spaces, and their proper treatment needs a good background knowledge of geometry, topology and algebra. Only recently has knot theory been sufficiently developed to give effective methods and reasonably easy procedures for determining whether two knots (or links, or braids) are equivalent or not. For this purpose, the Reidemeister moves and various types of knot polynomials have been introduced. Some knot polynomials, such as the Jones polynomial with one variable, and the HOMFLY polynomial with two variables, can also express the chirality of a knot. Molecular chirality is an important aspect of stereochemistry. The main objective of this thesis is to study molecular chirality from the standpoint of knot theory. The abstract molecular knot is generated by tying a piece of string around the molecular model in an appropriate manner. It has the chirality corresponding to that of the molecular model. In this study, it has been found that the molecular knot for a molecule with one chiral center is a trefoil. Those for molecules with two or more chiral centers are composite knots. For molecules with a noncyclic sequence of chiral centers, the composite knot, is a sum of trefoils. The product rules of knot polynomials for composite knots can thus be used to express the chirality polynomials of these molecular knots. Molecules with cyclic arrangement of chiral centers, however, give more complicated molecular knots, with links and braids, and the associated polynomials involve non-integral powers.

มนุษย์มีความคุ้นเคยกับปมเงื่อน ห่วงคล้องและ การถักไขว้มาแต่สมัยโบราณ แต่เมื่อพิจารณาในเชิง คณิตศาสตร์แล้วเรื่องดังกล่าวค่อนข้างจะยุ่งยาก นิยาม ของปมเงื่อนห่วงคล้องและการถักไขว้เกี่ยวข้องกับปัญหา การจัดวางและการฝังตัวของพหุลักษณ์(หรือแมนิโฟลด์) ในปริภูมิเชิงนามธรรม การศึกษาสิ่งเหล่านี้อย่างถ่องแท้ ต้องอาศัยความรู้พื้นฐานอย่างดีทางด้านเรขาคณิตโทรโพโลยี และพีชคณิต ปัญหาสำคัญของการศึกษาทฤษฎีปมเงื่อน คือ การหาวิธีการสำหรับจำแนกปมเงื่อน 2 ปมว่า สมมูลกัน หรือไม่ ในปัจจุบันทฤษฎีได้พัฒนาถึงขั้นที่พอจะสามารถให้ วิธีการที่เหมาะสมเพื่อใช้แก้ปัญหาสำคัญนี้ได้ ทั้งนี้โดย การพิจารณาการเคลื่อนที่แบบไรเดอไมสเตอร์ และ พหุนามปมเงื่อนต่าง ๆ นอกจากนั้นแล้วพหุนามบางชนิด อาทิ พหุนามของโจนส์ซึ่งมี 1 ตัวแปร พหุนามฮอมฟลี ซึ่งมี 2 ตัวแปรสามารถใช้แสดงไครัลลิตีของปมเงื่อน ได้ด้วย วัตถุประสงค์สำคัญของวิทยานิพนธ์นี้คือ การศึกษา ไครัลลิตีเชิงโมเลกุลซึ่งเป็นหัวข้อหลักของวิชาสเตริโอ เคมีโดยใช้ทฤษฎีปมเงื่อน วิธีการศึกษาประกอบด้วยการ หาวิธีการที่เหมาะสมทำการพันเชือกรอบแบบจำลองโมเลกุล เพื่อให้เกิดปมเงื่อนเชิงโมเลกุลขึ้น พบว่า แบบจำลอง โมเลกุลที่มี 1 ศูนย์กลางไครัล จะให้ปมเงื่อนเชิงโมเลกุล ที่เป็นรูปสามกลีบ ถ้าเป็นโมเลกุลที่มีมากกว่า 1 ศูนย์ กลางไครัลเรียงกันไม่เป็นวง จะให้ปมเงื่อนประกอบของ รูปสามกลีบรวมกัน ต่อไปทำการหาพหุนามไครัลลิตีของ ปมเงื่อนเชิงโมเลกุลที่ได้โดยใช้กฎผลคูณของพหุนาม ปมเลื่อนสำหรับปมเงื่อนประกอบ อย่างไรก็ตามพบว่า โมเลกุลที่ศูนย์กลางไครัลเรียงกันไม่เป็นวงจะทำให้ปม เงื่อนที่ซับซ้อนกว่า อีกทั้งยังเกิดห่วงคล้องและการถัก ไขว้ขึ้นมา ทำให้พหุนามที่ได้มีเลขยกกำลังที่ไม่เป็น จำนวนเต็ม